[Matematik] Euler ÖzdeÅŸliÄŸi | Euler Denklemi – ÖzdeÅŸliÄŸin DoÄŸası – e Sayısı Veya Euler Sayısı

Euler Özdeşliği

Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler tarafından bulunan eşitlik

dır. Burada,

1. , doğal logaritma tabanı Euler sayısını

2. , karesi -1’e eÅŸit olan karmaşık sayıyı,

3. , bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder.

Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandırılmaktadır.

Özdeşliğin Doğası

Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır. Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir. Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir:

• 0 sayısı
• 1 sayısı
• Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı
• Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (bak. e sayısı ≈ 2.71828)
• Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı

Özdeşliğe İlişkin Düşünceler

Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeÅŸliÄŸi matematiÄŸin en hoÅŸ kuramıdır. Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diÄŸer anket sonucuna göre ise Euler eÅŸitliÄŸi Maxwell denklemleri ile birlikte “gelmiÅŸ geçmiÅŸ en büyük denklemler” olarak belirlenmiÅŸtir.

Paul Nahin’in Dr. Euler’in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeÅŸliÄŸine adanmıştır. Dörtyüz sayfa uzunluÄŸundaki bu kitap Euler özdeÅŸliÄŸinin “matematiksel güzelliÄŸin zirvesine ulaÅŸtığı” kanısındadır.

Constance Reid, Euler özdeÅŸliÄŸinin “matematiÄŸin en önemli formülü” olduÄŸunu öne sürmüştür.
Gauss’un bu formülü ilk duyduÄŸunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediÄŸine inanılmaktadır.

19. yüzyılın ünlü matematikçilerinden Benjamin Peirce bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir:

“Bu özdeÅŸlik ilk bakışta çeliÅŸkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeÄŸin ta kendisiyle karşı karşıya olduÄŸumuzu görüyoruz.”

Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir:

“Euler özdeÅŸliÄŸi aÅŸkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna iÅŸleyen bir resim gibi varoluÅŸun en derinlerine iniyor.”

Çıkarımı

Euler özdeşliğinin rastgele bir açıya uygulanması

Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur. Euler formülü her x gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır.

eşitliği sağlanıyorsa

ifadesi elde edilir. Bunun nedeni

ve

eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir.

ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür.

Genelleme

Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar.

Atıf Sorunu

Euler, formülünün e sayısını cos ve sin terimleriyle iliÅŸkilendirdiÄŸini birçok yerde belirtmiÅŸtir ancak Euler’in kendi adına atfedilen özdeÅŸliÄŸi bulduÄŸuna dair somut bir kanıt bulunmamaktadır. Bazı kaynaklar bu özdeÅŸliÄŸin Euler’in doÄŸumundan önce kullanılmakta olduÄŸunu öne sürmektedirler. (Durum böyleyse bu, Stigler adlandırma yasasına bir örnek oluÅŸturabilir.) Bu nedenle, özdeÅŸliÄŸin Euler’e atfedilmesinin uygun olup olmadığı konusunda genel bir kabul yoktur.

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 20.06.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 3874 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 1 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Matematik] Euler Özdeşliği | Euler Denklemi - Özdeşliğin Doğası - e Sayısı Veya Euler Sayısı orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...