Cebirin Temel Teoremi – D’Alembert-Gauss Teoremi | Teoremin Dengi Ä°fadeleri – Karmaşık Analizdeki Kanıtlar

Cebirin Temel Teoremi – D’Alembert-Gauss Teoremi

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık deÄŸiÅŸkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D’Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.

Teoremin açık bir ifadesi şöyledir:

Katsayıları karmaşık olan ve sabit olmayan tek değişkenli her polinomun en az bir (karmaşık) kökü vardır.

Sonuç olarak, katsayıları tamsayı, rasyonel sayı veya gerçel sayı olan ve sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır; çünkü tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır. Bu sonuç elde edildikten sonra, her polinomun karmaşık sayılar cismi olan ‘de çarpanlarına ayrılabileceÄŸi görülebilir; yani daha doÄŸru bir ÅŸekilde dile getirilirse, her polinom derecesi kadar sayıda doÄŸrusal fonksiyonların çarpımı ÅŸeklinde yazılabilir. Bu doÄŸrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir. Polinom bu son anlatılan ÅŸekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılırsa, böyle bir ayırma tek bir ÅŸekilde yapılabilir. Matematiksel bir dille ÅŸu ifade edilmektedir:

EÄŸer

ise ve

n dereceli bir polinomsa,

eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir. Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin olacağı açıktır. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.

Cebirin temel teoremi, her ne kadar cebirin ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiÅŸ matematiÄŸin büyük bir bölümünün geliÅŸtirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiÄŸi cebir kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır. Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir. Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini “denklemler kuramı” yani polinomların çözümüyle uÄŸraÅŸan bir kuram olarak tanımlamasıdır. Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi deÄŸiÅŸmeden kalmıştır.
Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur. Örneğin, doğrusal cebirde özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde önemli bir yere sahiptir. Yine analizde, rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha bir çok teoremin kanıtında kullanılmaktadır.

Teoremin dengi ifadeleri

Cebirin temel teoreminin birbirine denk olan deÄŸiÅŸik ifadeleri mevcuttur:

Bunlardan ilki yukarıda da verilen ifadedir: Sabit olmayan ve katsayıları karmaşık olan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.

Örneğin, 1+i karmaşık sayısı polinomunun bir köküdür. Bu halde, teorem P(X) polinomunun bir kökünün varolduğunu ifade eder; ancak bu kökün nasıl bulunacağını açıklamaz. Köklerin varlığı ilgili bu ifade aslında karmaşık sayılar cisminin bir özelliğini de tanımlamaktadır. Katsayılarını bir F cisminden alan, tek değişkenli ve derecesi en az 1 olan her polinomun yine bu F cismi içinde bir kökü varsa, F cismine cebirsel kapalı cisim adı verilir. Teorem bu yüzden şu şekilde de ifade edilebilir:

C cismi cebirsel kapalı bir cisimdir.

Bu sonuç, aynı zamanda bir polinomun bölünmesi bağlamında da, yani karmaşık katsayılı çarpanlarının çarpımına eşit olması anlamında da ifade edilebilir:

Karmaşık değişkenli her polinom bölünebilir; yani derecesi 1 olan ve karmaşık katsayılara sahip polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı ÅŸeklindeki polinomların an(X – α1)…(X – αn) halinde de yazılabileceÄŸini iÅŸaret eder. Burada, 1’den k’ye kadar deÄŸiÅŸen her αk polinomun bir köküdür. Burada, farklı k’ler için αk’ler eÅŸit olabilir. Bu durumda, αk’ye katlı kök adı verilir.

Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:

Gerçel katsayılara sahip, sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.

Gerçel katsayılı indirgenmez polinomlar ya 1 derecelidir ya da ikinci dereceden diskriminantı kesin negatif olan polinomlardır (yani halinde yazılabilen ve koşulunu sağlayan polinomlar). Sabit olmayan, gerçel katsayılara sahip her polinom, derecesi 1 veya 2 olan polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Teoremin tarihi

Peter Rothe (Petrus Roth), 1608’de yayımlanan Arithmetica Philosophica adlı kitabında gerçel katsayılara sahip n’yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olabileceÄŸini yazmıştır. Albert Girard, 1629’da yayımlanan “L’invention nouvelle en l’Algèbre” adlı kitabında n’yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olduÄŸunu yazmıştır. Dahası, bu ifadesinin “denklem eksikli olmadıkça” geçerli olduÄŸunu ifade etmiÅŸtir. Ancak, ne demek istediÄŸini detaylı bir ÅŸekilde açıkladığında, aslında ifade ettiÄŸi önermenin her zaman geçerli olduÄŸuna inandığı ortaya çıkmaktadır.

Mesela, x4 = 4x − 3 eksikli değildir; ancak yine de 4 kökü vardır:

1 (iki kere), −1 + i√2, ve −1 − i√2.

Yukarıdaki dengi ifadelerde de ifade edildiÄŸi gibi cebirin temel teoremini izleyen ifadelerden biri de sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip bir polinomun derecesi bir veya 2 olan, gerçel katsayılı polinomların çarpımı ÅŸeklinde yazılabileceÄŸidir. Ancak, 1702’de Leibniz a’nın reel olduÄŸu ve sıfıra eÅŸit olmadığı x4 + a4 türündeki hiçbir polinomun bu ÅŸekilde yazılamadığını şöylemiÅŸtir. Sonraları, Bernoulli yine aynı ifadeyi bu sefer x4 − 4×3 + 2×2 + 4x + 4 polinomunu kastederek vermiÅŸtir. Ancak, 1742’de Euler’den bahsi geçen polinomun

şeklinde yazılabildiğini belirten bir mektup almıştır. (Burada α, 4 + 2√7 sayısının kareköküdür.)

Euler ayrıca,

olduÄŸundan da bahsetmiÅŸtir.

Jean le Rond D’Alembert teoremi kanıtlama ihtiyacı hisseden ilk matematikçiydi ve teoremi tamamen analitik amaçla kanıtlamaya çalışmıştı; ancak verdiÄŸi kanıt eksikti.

Teoremi ilk kanıtlama giriÅŸimi 1746’da d’Alembert tarafından yapılmıştır; ancak kanıtı eksikti. Kanıtın sorunlarından biri de Puiseux teoremi olarak da bilinen bir teoremi varsaymasıdır ki bu teorem bu kanıtın yapılmaya tarihten 100 yıl sonra kanıtlanmıştır. Dahası, bu kanıt da cebirin temel teoremini varsayar. Teoremi kanıtlama giriÅŸimi euler tarafından (1749’da), de Foncenex tarafından (1759’da), Lagrange tarafından (1795’de) yapılmıştır. Bu dört giriÅŸimin hepsi de Girard’ın ifadesine dayanmaktadır.

18’inci yüzyıl sonunda, köklerin varlığını varsaymayan iki kanıt yayınlandı. Bunlardan biri James Wood tarafından verilmiÅŸti ve genel çerçevede cebirsel bir kanıttı; ancak zamanında pek de önemsenmedi. Wood’un verdiÄŸi kanıtın aynı zamanda cebirsel bir açığı vardı. DiÄŸer kanıt ise Gauss tarafından 1799’da verilen kanıttı ve genel çerçevede geometrik bir kanıttı; ancak topolojik bir açığı vardı. Bu açık, Alexander Ostrowski tarafından 1920’de kapatılmıştır. Tamamen titizce hazılanmış bir kanıt Argand tarafından 1806’da verilmiÅŸtir ve ilk defa burada cebirin temel teoremi gerçel katsayılı polinomlardan deÄŸil de karmaşık katsayılı polinomlardan bahsederek ifade edilmiÅŸtir. Gauss, daha sonra biri 1816’da ve diÄŸeri de ilk verdiÄŸi kanıtın deÄŸiÅŸik bir hali olmak üzere 1849’da iki kanıt daha yayımlamıştır.

Teoremi ve kanıtını içeren ilk kitap Cauchy’nin “Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique” (1821) adlı kitabıdır. Argand’ın kanıtını içermektedir; ancak Argand’a herhangi bir atıf yapılmamıştır.

Kanıtlar

Bu bölümde dahil edilen kanıtların neredeyse hepsi bir şekilde analizden en azından gerçel ve karmaşık fonksiyonların sürekliliğini kullanacak derecede faydalanmaktadır. Bazı kanıtlar türevi ve hatta analitik fonksiyonları kullanmaktadır. Bu yüzden, aslında cebirin temel teoreminin ne temel ne de tamamen cebirsel bir özelliği mevcuttur.

Teoremin bazı kanıtları sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip polinomların karmaşık bir köke sahip olacağını kanıtlamaktadır. Ancak, bu tür kanıtlar yine de teoremin en genel halini kanıtlamakta yeterlidir; çünkü p(z) karmaşık katsayılara sahip sabit olmayan bir polinomsa

polinomunun sadece gerçel katsayıları olacaktır. Dahası, z eÄŸer q(z) ‘yi sıfır yapan bir sayıysa yani q(z) ‘nin köküyse, o zaman ya z ya da z ‘nin eÅŸleniÄŸi p(z) ‘nin kökü olacaktır.

Teoremin cebirsel yöntemleri kullanmayan kanıtlarının büyük bir kısmı büyüme önsavı da denilen ÅŸu gerçeÄŸe dayanmaktadır: baskın katsayısı 1 olan n ‘yinci dereceden bir polinom |z| yeterince büyükken aslında zn gibi davranır. Daha kesin bir ifade ise şöyle verilebilir:

Öyle bir R sayısı vardır ki |z| > R iken şu eşitsizlik sağlanır:

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 10.04.2010 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 1402 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 1 adet mesaj daha bulunmaktadır.

Cebirin Temel Teoremi - D\'Alembert-Gauss Teoremi | Teoremin Dengi İfadeleri - Karmaşık Analizdeki Kanıtlar orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...