[Matematik] Sonsuz Maymun Kuramı | Daktilonun Tuşlarına Gelişigüzel Dokunan Maymunun Belirli Bir Metni Sonsuz Zaman Dilimi İçinde Yazabileceğini Ortay..

Sonsuz Maymun Kuramı

Sonsuz maymun kuramı, bir daktilonun tuşlarına gelişigüzel dokunan bir maymunun belirli bir metni (örneğin William Shakespeare’in tüm yapıtları) sonsuz zaman dilimi içinde yazabileceğini ortaya koyan matematik kuramıdır.

Tuşlara gelişigüzel biçimde dokunan bir şempanze yeterli süre verildiğinde Shakespeare’in oyunlarından birini neredeyse kesin olarak yazabilir.

Burada “neredeyse kesin” söz öbeği matematiksel bir terim olarak öne çıkmaktadır. Kuramda geçen “maymun” sözcüğü ise, gerçek bir maymun yerine sonsuz harften oluşan bir rastgele dizi üreten aygıt anlamına gelmektedir. Kuram, sonsuzluk kavramına ilişkin akıl yürütmelerin konu olduğu tehlikeyi ortaya koymaktadır. Bir maymunun Shakespeare’in “Hamlet” adlı yapıtı gibi çalışmaları tümüyle aynı biçimde yazabilme olasılığı o denli küçüktür ki, bu durumun evrenin yaşı ölçeğinde gerçekleşme şansı önemsizdir; ancak, kesinlikle sıfır değildir.

Kuramın çok ya da sonsuz sayıda yazıcı içerdiği uyarlamaları olduğu gibi hedef metnin büyüklüğü bir dizi ile kütüphane arasında değişebilmektedir. Kuramın kökleri Aristoteles’in “Oluş ve Bozuluş Üzerine” ve Cicero’nun “De natura deorum” adlı yapıtlarıyla Blaise Pascal ve Jonathan Swift’in düşüncelerine dayanmaktadır. Émile Borel ve Arthur Eddington 20. yüzyılda kuramı, istatistiksel mekaniğin gizli zaman cetvelini ortaya koymak amacıyla kullanmışlardır. Birçok Hıristiyan savunucu ve Richard Dawkins, evrim için kullanılan maymun benzetmesinin uygunluğu konusunda farklı görüşler ileri sürmüşlerdir.

Yazı yazan maymunlara olan popüler ilgi yazın, televizyon, radyo, müzik ve İnternet’teki birçok örnekte görülebilmektedir. 2003 yılında altı sorguçlu kara şebekle (Macaca nigra) bir deney gerçekleştirilmiştir ancak ortaya konan yazınsal katkı, ‘S’ harfinin çoğunlukta olduğu beş sayfalık bir belgedir.

Çözüm

Kanıt

Kuramın oldukça anlaşılabilir bir kanıtı bulunmaktadır. İki olay istatistiksel olarak bağımsızsa (olaylar birbirinin sonucunu etkilemiyorsa) bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı bu olayların ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşittir.

Örneğin, Sidney’in yağmurlu bir gün geçirme olasılığı 0.3 ve San Francisco’da o gün bir deprem olma olasılığı 0.008 ise bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı 0.3 × 0.008 = 0.0024’e eşit olacaktır.

Daktilonun 50 tuştan oluştuğu ve yazılacak sözcüğün “maymun” olduğu varsayılsın. Tuşlara rastgele basıldığı göz önüne alınırsa yazılan ilk harfin m olma olasılığı 1/50’dir. Benzer biçimde, ikinci harfin a olma olasılığı da 1/50’ye eşit olacaktır. Art arda yazılan harfler birbirinden bağımsız olaylar oluşturduğundan ilk altı harfin “maymun” sözcüğünü oluşturma olasılığı,

olarak hesaplanır. Bu sayı 15 milyarda birden küçüktür. Bundan sonra yazılacak 6 harfin “maymun” sözcüğünü oluşturması olasılığı aynı nedenle

‘ya eşit olacaktır.

Yukarıdaki akıl yürütmeye göre “maymun” sözcüğünün oluşmama olasılığı

1 − ‘ya eşittir.

Yazı denemeleri bağımsız olaylar olduğundan ilk n denemede “maymun” sözcüğünün oluşmama olasılığı

olur.

n arttıkça Xn azalmaktadır:

• n bir milyonken Xn 0.9999 (“maymun” sözcüğünün oluşmama olasılığı yakşalık %99.99),
• n 10 milyarken Xn 0.53 (“maymun” sözcüğünün oluşmama olasılığı yaklaşık %53),
• n 100 milyarken Xn 0.0017 (“maymun” sözcüğünün oluşmama olasılığı yaklaşık %0.17) değerini almaktadır.
• n sonsuza yaklaştıkça Xn sıfıra yaklaşmaktadır.

Böylece, n sayısı istenilen ölçüde büyük seçilerek Xn değeri azaltılabilmektedir.

Bu görüş, sonsuz sayıda maymunun en az birinin metni, daktiloyu neredeyse hatasız kullanan bir insanla aynı sürede yazabildiğini göstermektedir. Bu durumda,

eşitliği sağlanmaktadır. Bu ifadede Xn ilk n maymundan hiçbirinin “maymun” sözcüğünü ilk denemede yazamama olasılığını belirtmektedir. Bu olasılık 100 milyar maymun için %0.17’ye düşmekte, n arttıkça Xn azalmakta ve limit değeri olan sıfıra yaklaşmaktadır.

Ne var ki, fiziksel bakımdan anlamlı sayıda maymunun fiziksel bakımdan anlamlı bir süre boyunca yazma denemesi yaptığı düşünülürse sonuç, yukarıda elde edilenin tam tersidir. Maymun sayısı gözlemlenebilir evrendeki parçacık sayısına eşitse ve her maymun evrenin yaşının 100 katı süre boyunca saniyede 1000 harf yazabiliyorsa elde edilen metnin kısa bir kitabın bile birebir aynısı olma olasılığı sıfıra yakındır.

Sonsuz Diziler

Yukarıda açıklanan sonuçlar diziler yardımıyla daha genel ve akıcı bir biçimde ifade edilebilmektedir.

• Karakterlerin tekdüze dağıldığı bir sonsuz dizi içinde herhangi bir sonlu diziyle karşılaşma olasılığı çok yüksektir (dizi birden çok sayıda da bulunabilmektedir).
• Karakterleri rastgele dağılmış sonsuz dizilerin oluşturduğu küme tanımlı olmak üzere, bu küme içinden seçilen herhangi bir sonlu dizi bu kümede yer alan başka bir dizinin öneki olarak bulunmaktadır.

Bu çıkarımlar ikinci Borel–Cantelli önermesine dayanmaktadır. İkinci kuram için Ek, k. dizinin metinle başlaması olayı olarak tanımlanırsa,

eşitliği elde edilir. Bunun nedeni, olayın sıfırdan farklı bir p gerçekleşme olasılığına sahip olması ve Ek’ların bağımsız oluşlarıdır. Sonsuz sayıda Ek’nın gerçekleşme olasılığı 1’dir.

İlk kuram da buna benzer biçimde kanıtlanabilmektedir. Rastgele dizi çakışmayan bölmelere ayrılır ve Ek, k. bölmenin hedef diziye eşit olması olayı olarak tanımlanırsa istenilen sonuç elde edilir.

Olasılıklar

Noktalama imleri, boşluk ve büyük-küçük harf kullanımı göz ardı edilirse bir maymunun Hamlet’in ilk harfini doğru yazma olasılığı 26’da 1, ilk iki harfini doğru yazma olasılığı,
676’da (26 × 26) 1’dir.

Olasılığın üstel büyümesi ilk 20 harfin doğru yazılma olasılığını

düşürmektedir. “Hamlet”in tümü düşünüldüğünde olasılıklar o denli azalmaktadır ki bu değerleri sıfırdan ayırabilmek oldukça güçleşmektedir.

Yaklaşık 130.000 karakterden oluşan “Hamlet”i ilk denemede doğru yazma olasılığı,

‘da 1’dir.

Doğru metnin ortaya çıkması için gerekli ortalama harf sayısı da,

‘dır.

Noktalama imleri göz önüne alındığında bu sayı,

‘e çıkmaktadır.

Tüm evren sonsuz bir süre boyunca yazan maymunlarla doldurulsa bile “Hamlet” adlı yapıtın ortaya çıkma olasılığı,

‘den düşük olacaktır.

Kittel ve Kroemer’ın deyişiyle “Hamlet”i yazma olasılığı bir olayın uygulanabilirliği bağlamında “sıfırdır” ve maymunların bu işi eninde sonunda başaracaklarına ilişkin ifade “çok büyük sayılar hakkında yanlış sonuçlara varılmasına yol açmaktadır.”

Geçmiş

İstatistiksel Mekanik

“Daktilografik” (yazıcı) maymunları (Fransızca: singes dactylographes, Fransızca singe sözcüğü maymun ve insansıları kapsamaktadır) temel alan kuram biçimi Émile Borel’in 1913 yılında yazdığı “Mécanique Statistique et Irréversibilité” (İstatistiksel mekanik ve tersinmezlik) adlı makalesi ve 1914’te yayımlanan “Le Hasard” adlı kitabında yer almaktadır. Burada kullanılan “maymunlar” gerçek varlıkları temsil etmekten çok büyük bir rastgele harf dizisi oluşturabilmek için kullanılan imgesel bir yöntemi belirtmektedir. Borel’e göre, bir milyon maymunun günde on saat boyunca yazı yazması durumunda bile dünyanın en varsıl kütüphanesinde bulunan kitapların birebir kopyalanması neredeyse olanaksızdır.

Arthur Eddington, “The Nature of the Physical World” (1928) adlı kitabında Borel’i şöyle desteklemiştir:

“Parmaklarımı bir daktilonun tuşları üzerinde gezdirsem ürettiğim uzun sözcük dizisi anlaşılabilir bir tümce oluşturabilir. Bir maymun ordusu daktilolara yüklense British Museum’daki tüm kitapları yazabilirler. Bu olasılık bir kap içerisindeki moleküllerin bir yanda toplanması olasılığından kesinlikle yüksektir.”

Bu yorumlar çok büyük olmasına karşın sonlu sayıdaki maymunun önemli bir iş üretmesinin inanılmaz derecede düşük olasılığının belirli fiziksel olayların gerçekleşme olasılıklarıyla karşılaştırılmasını gündeme taşımaktadır. Maymunların başarılı denemesinden daha az olası fiziksel olayların uygulamada olanaksız olduğu kesinlikle söylenebilir.

Temeller ve “Toplam Kütüphane”

Arjantinli yazar Jorge Luis Borges 1939 yılında yazdığı “The Total Library” adlı makalesinde sonsuz maymun kavramını Aristoteles’in Metafizik adlı yapıtıyla temellendirmektedir. Dünyanın atomların rastgele konumlanmalarından doğduğunu düşünen Lefkippos’un görüşlerini genişleten Aristoteles, atomların türdeş olduklarını ve oluşturdukları birleşimin yalnızca biçim, konum ve sıralamaya bağlı değiştiğini vurgulamaktadır. Yunan filozof bu durumu “De Generatione et Corruptione” (Oluş ve Bozuluş Üzerine) adlı yapıtında trajedi ile komedi arasındaki ilişkiyle özdeşleştirmektedir. Cicero’nun üç yüzyıl sonra yayımladığı “De natura deorum” (Tanrıların Doğası) bu atomcu görüşe karşı çıkmaktadır:

“Bu görüşü savunan biri şunu da kabul etmek zorunda kalacaktır: Altından ya da herhangi bir maddeden yapılmış çok sayıda harf ortaya dökülürse bu harfler öyle bir dizilişe sahip olabilirler ki Ennius’un yıllıkları ile birebir eşlenebilirler. Şansın bu dizelerin birini bile oluşturabilmesi düşüncesine kuşkuyla bakarım.”

Borges bu görüşü Blaise Pascal ve Jonathan Swift’te de izlemiş ve yaşadığı dönemde kullanılan ifade biçiminin değiştiğini gözlemlemiştir. 1939 yılına değin egemen düşünce “tümü daktiloya sahip yarım düzine maymunun British Museum’daki tüm kitapları birkaç sonsuzluk zaman diliminde yazabilecekleriydi.” (Borges, “bir ölümsüz maymunun bu iş için yeterli olacağını” eklemiştir.) Bunun ardından Borges böyle bir oluşumun sınır tanımaksızın çaba harcaması durumunda meydana getirilebilecek kütüphanenin içeriğini düşlemeye başlamıştır:

“Bu kütüphanede her şey yer alırdı. Her şey… Geleceğin ayrıntılı geçmişi, Eshilos’un “Mısırlılar” adlı oyunu, Ganj sularının şahin uçuşunu yansıtma sayısı, Roma’nın gizli ve gerçek doğası, Novalis adlı ansiklopedi projesinin tam sürümü, 14 Ağustos 1934 şafağında gördüğüm düşler, Pierre Fermat kuramının kanıtı, Edwin Drood’un yazılmamış bölümleri, bu bölümlerin Garamant dilindeki karşılığı, Berkeley’in Time’a ilişkin kurguladığı ancak yayımlamadığı çatışkılar, Urizen’in demir kitapları, Stephen Dedalus’un olgunlaşmamış görünüşü, kutsal Basilides İncili, deniz kızlarının söylediği şarkı, kütüphanedeki kitapların tam listesi, bu listenin doğru olmadığının kanıtı. Her şey, ancak anlaşılır her sözcük için milyonlarca kakışım, karmakarışık söz ve laf kalabalığı. Her şey, ancak insanlığın ürettiği tüm yapıtlar, sersemlemiş raflar (yaşanan anı yok eden ve karmaşanın tam üstüne bastığı raflar) onlara iyi kötü bir metin sunmadan göçüp gideceklerdir.”

Borges’nin toplam kütüphane kavramı yazarın 1941 tarihli çok okunan “Babil Kütüphanesi” adlı öyküsünün ana hatlarını oluşturmaktadır. Öykü, birbirine bağlı altıgen bölmelerden oluşan ve alfabenin tüm harfleri ile bazı noktalama imlerinin birlikte oluşturduğu kümeden elde edilebilecek tüm yapıtları içeren dev bir kütüphaneyi konu almaktadır.

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 17.10.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 1625 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 1 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Matematik] Sonsuz Maymun Kuramı | Daktilonun Tuşlarına Gelişigüzel Dokunan Maymunun Belirli Bir Metni Sonsuz Zaman Dilimi İçinde Yazabileceğini Ortaya Koyan Matematik Kuramı orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...