[Matematik] Ä°ÅŸlem ve Ä°ÅŸlemin Özellikleri – Matematiksel Sistemler

A. TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özelliği

” a, b ÃŽ A için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi DiÅŸlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özelliği

” a, b ÃŽ A için, aD b = bD a ise, DiÅŸleminin deÄŸiÅŸme özelliÄŸi vardır.

3. Birleşme Özelliği

” a, b, c ÃŽ A için aD (bD c) = (Da b) Dc ise,D iÅŸleminin birleÅŸme özelliÄŸi vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği

” x ÃŽ A için, xD e = e Dx = x ise, e ye DiÅŸleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun.

” a ÃŽ A için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına iÅŸlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.

b Î A ise,D xişlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.

Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
Tersi kendisine eÅŸit olan her eleman birim eleman olmayabilir.
6. Dağılma Özelliği

” a, b, c ÃŽ A için,

a * (bD c) = (a * b)D(a* c) ise,

* işlemininDişlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.

(aD b) * c = (a * c)D(b * c) ise,

* işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır.

* işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa * işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır. 7. Yutan Eleman Özelliği

” x ÃŽ A için, xDi y = yDx = y olacak biçimde bir y varsa y ye DiiÅŸleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise,D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir.

Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO Ä°LE TANIMLANMIÅž Ä°ÅžLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

Ü b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b *c nin sonucudur. Buna göre, b * c = a dır.

Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır.

Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özelliği vardır.

Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır.

Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

D. MATEMATÄ°K SÄ°STEMLER

1. Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, * işlemi A da tanımlı olsun.

(A, *) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi* işlemine göre bir gruptur.

A, * işlemine göre kapalıdır.
A üzerinde * işleminin birleşme özelliği vardır.
A üzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
A üzerinde *işlemine göre her elemanın tersi vardır.
A üzerinde tanımlı * işleminin değişme özelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur. 3. Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır.

(A, D) sistemi deÄŸiÅŸmeli gruptur.
A kümesi*işlemine göre kapalıdır.
*işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Ü * işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır.

Ü * işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir.

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 17.10.2007 tarihinde Erkan tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 41325 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 3 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Matematik] İşlem ve İşlemin Özellikleri - Matematiksel Sistemler orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...