[Matematik] Iraksak Seri | Matematikte Iraksak Seri – Yakınsak Olmayan Bir Sonsuz Seridir – Harmonik Seri

Iraksak Seri

Matematikte ıraksak seri, yakınsak olmayan bir sonsuz seridir. Bu, serinin kısmi toplamlarının herhangi bir limit değeri olmadığı anlamına gelmektedir.

Bir seri yakınsıyorsa bu serinin terimleri sıfıra yaklaşmalıdır. Bu nedenle, en az bir terimi sıfıra yaklaşmayan seriler ıraksaktır. Ne var ki, terimleri sıfıra yaklaşan tüm seriler yakınsak değillerdir. Harmonik seri bu duruma örnek olarak gösterilebilir.

Harmonik serinin ıraksak olduğu Orta Çağ matematikçisi Nicole Oresme tarafından kanıtlanmıştır.

Özelleşmiş matematiksel yöntemler, kısmi toplamlar serisi ıraksayan belli serilere değerler atamaktadır. Toplam yöntemi, serinin kısmi toplamlar kümesinden değerlere tanımlı bir parçalı işlevdir. Örneğin, Cesàro toplamı Grandi ıraksak serisine 1/2 değerini atamaktadır. Kısmi toplamların aritmetik ortalamasına dayanan Cesàro toplamı ortalayıcı bir yöntemdir. Diğer yöntemler ise serinin çözümlemeli sürekliliğini göz önüne almaktadır. Fizik bu tür farklı toplam yöntemlerinin en sık kullanıldığı bilim dalıdır.

1. Iraksak seri toplam yöntemleri

Bir M toplam yöntemi tüm yakınsak serilerin limit deÄŸerleriyle koÅŸutluk gösteriyorsa düzenlidir. Bu sonuç Abel kuramı olarak adlandırılır. Alfred Tauber tarafından bulunan ve bu kurama kısmen karşıt sonuçlar üreten Tauber kuramları ise daha çok ilgi çekmektedir. Buradaki kısmen karşıt terimi, M’nin Σ serisini toplayabildiÄŸinde Σ’nın yakınsak olması gerektiÄŸini belirtmektedir.
Iraksak bir serinin toplamına değer atayabilen yöntemler doğrusaldır. Bu sonuç, yöntemin sınırlı kısmi toplamlara sahip olan serileri toplayabilecek biçimde geliştirilebilmesini öngören Hahn-Banach kuramından çıkarılmaktadır. Bu olgu uygulamada çok yararlı değildir. Bunun nedeni, birbirleriyle tutarsız yöntemlerin çokluğu ve bu yöntemlerin gerçekte var olduklarını kanıtlamanın seçme beliti ya da Zorn önermesi gibi yöntemler kullanmayı gerektirmesidir.
Iraksak serilerin matematiksel çözümlemedeki kullanım alanı Abel toplamı, Cesàro toplamı ve Borel toplamı gibi somut ve doÄŸal yöntemler ve bunlar arasındaki iliÅŸkilerdir. Wiener’in Tauber kuramı bu alanda bir milat olmuÅŸ ve Fourier çözümlemesindeki Banach cebiri yöntemleri üzerinde beklenmeyen bazı düzeltmeler yapmıştır.

Iraksak seri toplam yöntemleri ekstrapolasyon ve seri dönüşümü yöntemleriyle de ilintilidir. Padé yaklaşıkları, Levin seri dönüşümleri ve nicem mekaniğindeki düzensizlik kuramını düzeltme yöntemlerine ilişkin düzeye bağlı eşlemeler bu yöntemlere örnek olarak gösterilebilir.

2. Toplam yöntemlerinin özellikleri

Toplam yöntemleri genellikle serinin kısmi toplamlar kümesine odaklanmaktadır. Bu seri her ne kadar yakınsamıyorsa da, serinin ilk terimlerinin ortalaması alınarak limit hesaplaması gerekliliği ortadan kaldırılabilmektedir.

a = a0 + a1 + a2 + …

ifadesini hesaplayabilmek için öncelikle s serisi bulunmalıdır. Bu seri,

s0 = a0 ve sn+1 = sn + an

eşitliklerini sağlar. Yakınsak seriler için s, a limitine yaklaşmaktadır. Toplam yöntemi, kısmi toplamlar serisinden değerlere tanımlı bir işlev olarak görülebilir. A, bir seri kümesine değer atayabilen bir toplam yöntemi ise bu, karşılık gelen tüm serilere değer atayabilen bir seri toplam yöntemine dönüştürülebilir. Bu yöntemlerin belirli limit ve toplam değerlerine karşılık gelebilmeleri için sahip olmaları gereken bazı özellikler bulunmaktadır.

1. Düzenlilik: s serisi x’e yakınsarken A(s) = x koÅŸulu saÄŸlanıyorsa bu toplam yöntemi düzenlidir. Buna karşılık gelen seri toplam yöntemi de AΣ(a) = x sonucuna ulaÅŸmaktadır.

2. Doğrusallık: A, seri üzerinde tanımlı olduğu noktalarda doğrusal ise bu yöntem doğrusaldır. Bu, A(r + s) = A® + A(s) ve k bir sayı (gerçel ya da karmaşık) olmak koşuluyla A(ks) = k A(s) eşitliklerinin sağlanması anlamına gelmektedir. a serisinin an = sn+1 − sn terimleri s serisi üzerinde doğrusal olduklarından AΣ, seri terimleri üzerinde doğrusaldır.

3. Kararlılık: s, s0 ile baÅŸlayan bir seriyse ve s′n = sn+1 − s0 koÅŸulu saÄŸlanıyorsa A(s) ancak ve ancak A(s′)’nin tanımlı olması durumunda tanımlıdır ve A(s) = s0 + A(s′) eÅŸitliÄŸi saÄŸlanır. BaÅŸka bir deyiÅŸle, a′n = an+1 koÅŸulu tüm n deÄŸerleri için saÄŸlanıyorsa AΣ(a) = a0 + AΣ(a′) eÅŸitliÄŸi elde edilir.

Üçüncü koşul daha az önem taşımaktadır. Borel toplamı gibi bazı önemli yöntemler bu koşula sahip değillerdir.

A ve B gibi iki farklı toplam yönteminde ortak olarak bulunması yeÄŸlenen özellik tutarlılıktır. A ve B’nin deÄŸer atadığı her s serisi için A(s) = B(s) koÅŸulu saÄŸlanıyorsa bu yöntemler tutarlıdır. Ä°ki yöntem tutarlıysa ve bunlardan biri diÄŸerinden daha çok sayıda seriyi toplayabiliyorsa o yöntem diÄŸerinden güçlüdür.

3. Belitsel yöntemler

Düzenlilik, doğrusallık ve tutarlılık birer belit olarak tanımlandığında birçok ıraksak seriyi temel cebirsel ifade değişiklikleriyle toplamak olanaklıdır. Örneğin, r ≠ 1 olmak koşuluyla

geometrik serisi yakınsak olup olmadığına bakılmaksızın toplanabilir. Bu özelliklere sahip olan ve geometrik serilere deÄŸer atayabilen toplam yöntemleri bu seriye de deÄŸer atayabilmelidirler. Ne var ki, r’nin 1’den büyük bir gerçel sayı olması durumunda kısmi toplamlar sınır tanımaksızın artmakta ve ortalamaya dayanan yöntemler ∞ limit göstermektedirler.

4. Nörlund ortalamaları

pn’nin pozitif terimlerden oluÅŸan ve p0’dan baÅŸlayan bir seri olduÄŸu varsayılsın. Ayrıca,

koşulu da sağlanmış olsun. Bir s serisi p cinsinden ağırlıklı ortalamalar verecek biçimde düzenlenirse

sonsuza giderken tn’nin limiti Nörlund ortalaması (Np(s)) olarak adlandırılan ortalama deÄŸere eÅŸit olur.

Nörlund ortalaması düzenli, doğrusal ve kararlı olmasının yanı sıra iki Nörlund ortalaması tutarlıdır. Nörlund ortalamalarının en önemlileri kuşkusuz Cesàro toplamlarıdır. pk serisi

olarak tanımlandığında Cesàro toplamı Ck, Ck(s) = N(pk)(s) koÅŸulunu saÄŸlamaktadır. k ≥ 0 ise Cesàro toplamları Nörlund ortalamalarıdır. C0 olaÄŸan toplamayı, C1 ise olaÄŸan Cesàro toplamını göstermektedir. h > k koÅŸulu saÄŸlanıyorsa Ch Ck’den güçlüdür.

5. Abel ortalamaları

λ = {λ0, λ1, λ2, …} sonsuza yönelen artan bir seri olsun ve λ0 ≥ 0 koÅŸulunun saÄŸlandığı varsayılsın.

toplamı tüm x pozitif gerçel sayıları için yakınsıyorsa Abel ortalaması Aλ

biçiminde ifade edilebilir.

Bu tür seriler genel Dirichlet serileri olarak adlandırılır. Fiziksel uygulamalarda ise ısı-öz düzenlemesi adını alırlar.

Abel ortalamaları düzenli, doğrusal ve kararlıdırlar ancak farklı λ değerleri için tutarlı değillerdir. Buna karşın, bazı özel durumlar önemli toplam yöntemleri oluşturmaktadır.

5.1. Abel toplamı

λn = n koşulu sağlandığında Abel toplamına ulaşılmaktadır.

Burada z = exp(−x) eÅŸitliÄŸi saÄŸlanmaktadır. Böylece, x pozitif gerçel sayılardan 0’a yaklaşırken Æ’(x)’in limiti, z 1’e aÅŸağıdan yaklaşırken Æ’(z)’nin limitine eÅŸit olur. Bu durumda Abel toplamı A(s)

biçiminde tanımlanır.

Abel toplamı Cesàro toplamı ile tutarlıdır ancak ondan güçlüdür. Ck(s)’nin tanımlı olduÄŸu tüm noktalarda A(s) = Ck(s) eÅŸitliÄŸi saÄŸlanmaktadır.

5.2. Lindelöf toplamı

λn = n ln(n) koşulu sağlanıyorsa

eşitliğine ulaşılır.

Lindelöf toplamı (L(s)), x sıfıra giderken Æ’(x)’in limitine eÅŸittir. Birçok uygulama alanı bulunan bu yöntem Mittag-Leffler yıldızındaki güçlü serileri toplayabilmesiyle ünlüdür.

g(z) sıfır çevresinde analitik ise ve bir Maclaurin serisine sahipse Mittag-Leffler yıldızında L(G(z)) = g(z) eşitliği sağlanır.

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 06.02.2010 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 921 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 0 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Matematik] Iraksak Seri | Matematikte Iraksak Seri - Yakınsak Olmayan Bir Sonsuz Seridir - Harmonik Seri orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...