[Matematik] Ä°kinci ve Üçüncü Dereceden Denklemler – Çarpanlara ve Köklerine Ayırma

A. TANIM

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0
biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

B. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

2. Diskiriminant (D) Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve

D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

ax2 + bx + c = 0

denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

Bu kökleri, D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur. c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.

Bu kökler,

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

Ü ax2 + bx + c = 0

denkleminin kökleri simetrik ise,

1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2) Simetrik kökleri gerçel ise,

b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri

x1 ve x2 ise,

D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;

(x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.

Ãœ ax2 + bx + c = 0 … (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve

mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerineyazılarak bulunur.

Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0
denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

(a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,

C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem

(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0

olur.

Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri

x1, x2, x3 olsun.

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

x1 + x3 = 2×2 dir.
2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

x1 = x2 = x3 tür.
n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0 = 0
denkleminin;

Kökleri toplamı :

Kökleri çarpımı :

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 22.10.2007 tarihinde Erkan tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 10980 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 0 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Matematik] İkinci ve Üçüncü Dereceden Denklemler - Çarpanlara ve Köklerine Ayırma orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...