[Matematik] Diskriminant | Matematik Biliminde Cebirsel Kavram

Diskriminant

Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır.

Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemler’in çözümü için kullanılır. Ä°kinci dereceden büyük herhangi bir polinom’un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle geniÅŸletilmiÅŸtir. Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluÄŸu için gereken koÅŸul da diskriminant’in varlığı ve yokluÄŸu ile bulunabilmektedir.

^ Gerçel sayılı katsayıları olan ikinci derece denklemin köklerinin bulunması için hesaplanan diskriminant değerleri bileşimi.

Diskriminant kavramı polinomların incelenemesinden daha baÅŸka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik ÅŸekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi’nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki geliÅŸmelerde de diskriminant kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır.

Ä°kinci derecede polinom

Gerçel katsayılı denklemin çözülmesi

İkinci derecede bir polinom denklem ele alalım ve denklemde a, b ve c üç gerçel sayılı katsayı olsun ve a değeri 0 dan değişik olsun.

ax2 + bx + c = 0 denklemi ve a0 olsun. Bu denklemin diskriminantı şöyle tanımlanan Δ (delta) sayısı ile ifade edilir:

Diskiriminant’ın bilinmesi bu ikinci derece polinomun çözülmesini saÄŸlar:

a) Δ > 0 yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. x1 ve x2 olarak ifade edilen bu iki kök şu formül kullanılarak bulunur:

b) Δ = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır:

c) Δ < 0 yani Δ negatif ise, denklemin gerçel kökü yoktur yani denklemin çözümü bulunamaz.

Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi

EÄŸer a, b ve c kompleks sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmiÅŸse durum biraz daha deÄŸiÅŸiktir. D’Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aÅŸağı bir tane çözümünün bulunması gerekir. Kompleks sayılıların ise her zaman iki tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ deÄŸeri vardır ki bunun karesi ( δ2) Δ’ya eÅŸittir. Buna göre

a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x1 eve x2, şu formülle bulunur:

b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök x1 bulunur:

Kısaltılmış diskriminant

Bazan ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:

Bu ÅŸekilde deÄŸiÅŸik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ’) şöyle tanımlanır:

Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:

Örnekler

a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:

Çözüm için, yani iki kok x1 ve x2 bulmak için, şu Δ diskiriminant ifadesi incelenir :

b) İkinci örnek olarak verilen denklem şudur:

x^2 + 6x + 9 = 0 ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:

Bu demektir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur.

Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur.

c) Son olarak örnek denklem şu olsun:

x2 + x + 1 = 0 Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:

yani Δ negatifdir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Faket bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i “sanal birim” operatorüdür. Bundan dolayı ÅŸu çözüm ortaya çıkar:

Gerçel sayılar seti üzerinde, iki değişkenli (x ve y) iki boyutlu φ kuadratik formu şu formülle ifade edilir:

Kuadratik form aynı zamanda bir matris ifade ile de gösterilebilir:

Bu matris ÅŸeklinde ifadenin determinantinin açılması, daha önce diskriminat için verilen ifadeye, yani -1/4(b2 – 4ac) ifadesine eÅŸittir. Bir geçen matris P kullanarak yapılan bir baz deÄŸiÅŸmesi bu determinatın deÄŸerinde deÄŸiÅŸme yapar. Daha detaylı bir açıklama ile, yeni baz için deÄŸer eski baz ile P determinantının karesinin çarpımına eÅŸittir ve determinantın iÅŸareti deÄŸiÅŸmeden aynı kalmaktadır. Bu analizin incelenmesi daha ayrıntılı bir maddede yapılmaktadır.

Bunun için iki boyutlu kuadratik formları için üç tane farklı tanımlama yapılmaktadır. B bazında olan kuadratik formun dsiskriminantı, B bazındakı kuadratik forma baÄŸlı olan matrisin determinatı olur. Daha onceki hale benzer bir açıklama ve hesaplama ile kuadratik formun diskriminantının b2 – 4ac. ifadesine esit olduÄŸu tanımlanabilir. Sonra, kuadratik formun determinantına baÄŸlı tek deÄŸiÅŸmez gibi, diskriminant da +1, 0 veya -1 deÄŸerleri alabilen determinant iÅŸareti olarak tanımlanır.

Diskriminant kuadratik formları üç tane deÄŸiÅŸik gruba ayırmaktadır. Ä°ki boyutta, kanonik bazda determinatın deÄŸerinin diskrimantı tanımlaması yapıldıktan sonra, eÄŸer verilmis bir a degeri icin diskriminantın iÅŸareti pozitif ise, φ(x, y) = a deÄŸiÅŸebilirinin (x, y) noktalarının Ea ensamblı bir elipse karşıttır veye ensambl boÅŸtur. EÄŸer diskriminant sıfır ise, bu halde Ea bir parabol’a karşıt olur. EÄŸer diskriminant negatif ise, Ea bir hiperbol olur. Kuadratik formlar üç farklı ÅŸekilde konik seksiyon elde etmeye izin verir.

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 05.02.2010 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 811 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 1 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Matematik] Diskriminant | Matematik Biliminde Cebirsel Kavram orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...