Korelasyon Nedir? | Matematiksel Özellikleri – Korelasyonun Açıklanması – Korelasyon Ve Nedensellik – Korelasyon Ve Doğrusallık – Korelasyon Kat..

Korelasyon

Korelasyon, olasılık kuramı ve istatistikte iki bağımsız değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirtir. Genel istatistiksel kullanımda korelasyon, bağımsızlık durumundan ne kadar uzaklaşıldığını gösterir.

Farklı durumlar için farklı korelasyon katsayıları geliştirilmiştir. Bunlardan en iyi bilineni Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısıdır. İki değişkenin kovaryansının, yine bu değişkenlerin standart sapmalarının çarpımına bölünmesiyle elde edilir. Pearson ismiyle bilinmesine rağmen ilk olarak Francis Galton tarafından bulunmuştur.

Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı

Matematiksel özellikleri

Korelasyon katsayısı, bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin yönü ve büyüklüğünü belirten katsayıdır. Bu katsayı, (-1) ile (+1) arasında bir değer alır. Pozitif değerler direk yönlü doğrusal ilişkiyi; negatif değerler ise ters yönlü bir doğrusal ilişkiyi belirtir. Korelasyon katsayısı 0 ise söz konusu değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Matematik beklenti değerleri μX ve μY, standart sapmaları σX ve σY olan iki bağımsız değişken X ve Y arasındaki Pearson’un çarpım-moment korelasyon katsayısı (ρX, Y), şu şekilde tanımlanır:

E değişkenin matematiksel beklenti değerini, cov ise kovaryansı ifade eder,
μX = E(X) olduğundan, σX2 = E(X2) − E2(X) ve Y, için de aynısı geçerli olduğundan, şu ifadeyi yazabiliriz:

Korelasyon, yalnızca standart hataların ikisi de sonlu ve sıfırdan farklı ise, tanımlıdır. Korelasyon katsayısının 1’i (mutlak değer olarak) geçemeyeceği ise Cauchy-Schwarz eşitliğinin doğal bir sonucudur.

Tam bir artan doğrusal ilişkinin varlığı halinde korelasyon katsayısı 1 değerini alır, tam bir azalan ilişkinin varlığı halinde ise korelasyon katsayısı -1 değerini alır. Katsayının alabileceği diğer tüm değerler ise ilişkinin doğrusallığına bağlı olarak bu iki değer arasında olacaktır. Katsayı +1’e veya -1’e ne kadar yakınsa ilişkinin doğrusallığı o kadar güçlüdür.
Değişkenler istatistiksel olarak bağımsız ise korelasyon 0’dır fakat bunun tersi doğru değildir, çünkü korelasyon katsayısı yalnızca doğrusal olan ilişkiyi belirler.

Bir örnek: Rastgele X değişkeninin −1 ve +1 aralığında tekdüze dağılımına göre dağıldığını varsayalım ve Y = X2 ilişkisi geçerli olsun. Bu durumda Y tamamen X tarafından belirlenmiştir, öyle ki X ve Y birbirlerine bağımlıdır, fakat Pearson anlamdaki korelasyon 0 olacaktır. Ne var ki, X ve Y’nin birlikte normal dağıldığı durumda, istatistiksel bağımsızlık aynı zamanda korelasyonun da olmaması anlamına gelir.

Bir seri (x, y) noktalar ve her set için x ile y arasındaki korelasyon katsayısı değeri. Yukarı sıradan görüldüğü gibi korelasyon bir doğrusal ilişkinin yönünü ve rastgele yayılımını yansıtır. Orta sıradan anlaşılmaktadır ki korelasyon ilişkinin eğiliminden etkilenmez. Dikkat edilirse tam merkezdeki gösterimde ilişki 0’dır ama Y varyansı 0 olduğu için korelasyon katsayısı tanımlanamamaktadır. Son sıranın amacı korelasyonun doğrusal olmayan bağlantılardan da etkilenmediğini göstermektir.

Pearson’un çarpım-moment korelasyon katsayısı örneklem kestirimi

Bir rasgele örneklem olarak n büyüklükte X ve Y değişkenleri için aralıksal ölçekli veya oransal ölçekli sayısal veri serileri bulunmaktadır ve bu seriler n satırlı ve 2 sütunlu bir veri matrisi olarak ifade edilir. Bu veriler i = 1, 2, …, n için xi ve yi olarak yazılır. Anakütle Pearson’un çarpım-moment korelasyon katsayısı olan ρXY; için, kestirim korelasyon katsayısı olan rxy şu formül ile hesaplanır:

Burada ve xi ve yi için örneklem aritmetik ortalamaları; sx and sy xi ve yi için örneklem standart sapmaları ve toplama Σ i=1 ile n arasındadır. Bu formül biraz değişme ile şöyle de verilebilir:

Eğer X ve Y verileri normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişlerse, Pearson’un örneklem korelasyon katsayısı bu iki anakütle değişkeni arasında bulunan korelasyon için en iyi korelasyon kestirimi olduğu isbat edilmiştir. Yine, anakütle korelasyonu için doğru olduğu gibi, örneklem korelasyon katsayısı da -1 ile +1 arasında değişme gösterir.

Verilen formül kullanılarak, komputer kullanarak tek geçişli algoritm olarak örneklem korelasyon katsayısı hesaplanması kolay görülmesine rağmen, pratikte özellikle bu formülün kullanışı sayısal kararsız olarak pek şöhret kazanmıştır. Aşağıda daha kararlı ve kesin sonuç veren örneklem korelasyon katsayı hesaplaması verilecektir.

Örneklem korelasyon katsayısı, xi ‘in yi ‘ye doğrusal uygunluğunun sağlanması halinde, açıklanan yi varyansı olarak da tanımlanabilir. Bu matematiksel biçimde şöyle yazılır:

Burada σy|x2 terimi xi ‘in yi ‘ye arasındaki ilişkinin bir y = a + bx doğrusu ile ifade edilmesinin kestirimi sırasında ortaya çıkan hata karelerinin toplamıdır.

Örneklem korelasyon katsayısı hem xi ‘e hem yi ‘ya göre simetrik olduğu için, eğer bağımlı değişken olarak xi seçilip yi ‘in buna doğrusal uygunluğunun kestirimi elde edilirse, aynı değer

elde edilir.

Bu denklem daha yüksek boyutlarda korelasyon katsayısı bulunması için bazı ipuçlari vermektedir. Yukarıda Euclid uzayı içinde bir 2-boyutlu vektör grubu için tek-boyutlu bir ölçü uygulaması halinde ortaya çıkartılan açıklanan varyans kısmı orneklem korelasyon olarak tanımlanmıştır. Aynı şekilde m boyutlu bir doğrusal alt-manifoldta n boyutlu vektörlerin uygulanması olan çoklu korelasyon katsayısı tanımlanabilir. Örneğin z için x ile y ‘ye göre bir düzey olan z = a + bx + cy uygulananırsa, ‘z ‘nin x ile y ‘ye göre korelasyonu şöyle verilir:

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 16.05.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 1702 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 1 adet mesaj daha bulunmaktadır.

Korelasyon Nedir? | Matematiksel Özellikleri - Korelasyonun Açıklanması - Korelasyon Ve Nedensellik - Korelasyon Ve Doğrusallık - Korelasyon Katsayısının Kesin Olarak Tek - Geçişli Olarak Kompüterle Hesaplanması orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...