Cebir Nedir? | MatematiÄŸin En Temel Dalı – Formüller Ve Denklemler – Cebirsel Yapı
Hale - 7 Åžubat 2012 Matematik ve Geometri 0 1 Okunma : 2502
İçerik Hakkında Bilgi
- Bu içerik 21.03.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 5373 kez okunmuştur.
Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum
İçerik ve Kategori Araçları
- Kategoriye Abone Ol
- Makalenin Çıktısını Al
- Makaleye Yorum ekle
- Son Güncellenme Tarihi: 2 Ocak 2012, Pazartesi 11:57
Cebir
Cebir, matematiÄŸin en temel dalıdır; çünkü en basit aritmetik iÅŸlemlerden, en karmaşık diferansiyel ve integral hesaplarına kadar matematiÄŸin bütün öteki dallarında uygulaÂnan genel kuralların belirlenmesinde cebir kullanılır. Klasik cebir, aritmetik yöntemleri simgelerle gösterilen deÂÄŸiÅŸik niceliklere uygulayarak genelleÅŸtirir ve geniÅŸletir. Klasik cebrin yanı sıra, soyut mateÂmatiksel yapıları konu alan modern cebir vardır. Klasik cebrin aksiyomlarından farklı aksiyomları temel alan yeni cebir türleri de oluÅŸturulabilir.
Klasik cebir aritmetik yöntemlerden hareÂket eder; onları genelleÅŸtirir ve geniÅŸletir. ÖrneÄŸin iki sayının çarpımının, çarpanların yerleri deÄŸiÅŸtiÄŸinde aynı kaldığını hepimiz biliriz.
3×4=4×3
Sayılar yerine harf kullanarak da bu çarpımı yazabiliriz. Sayılardan biri yerine a, öbürü yerine de b kullanırsak;
axb=bxa
olur. Bu eÅŸitlik, “herhangi bir sayının baÅŸka herhangi bir sayı ile çarpımı, çarpanlar yer deÄŸiÅŸtirdiÄŸi zaman da hep aynı sonucu verir” kuralının kısa yoldan yazılmasıdır. Aslında bunu daha kısa;
ab=ba
olarak da yazabiliriz.
Sayılar yerine harf kullanıldığı zaman geÂnellikle çarpma iÅŸareti kullanılmaz. Benzer biçimde, 2xc yerine 2c yazarız.
Harflerin sayıları temsil edecek biçimde kullanılmasında belirli kurallar geliÅŸtirilmiÅŸÂtir. Tek, çift ve doÄŸal sayıları aÅŸağıdaki biçimde sırayla yazalım.
DoÄŸal sayılar= 1 2 3 4 5 6 7…
Çift sayılar= 2 4 6 8 10 12 14…
Tek sayılar= 1 3 5 7 9 11 13…
Bu çizelgeye bakınca ilk olarak, her çift sayının, kendi karşılığı olan doÄŸal sayının iki katı; ikinci olarak da, her tek sayının, karşılığı olan çift sayıdan bir eksik olduÄŸu görülür. “Herhangi bir doÄŸal sayıyı temsil etmek için n harfini kullanırsak, çizelgede o doÄŸal sayıÂnın karşılığı olan çift sayıyı, onun iki katı olduÄŸu için 2n biçiminde yazabiliriz. Bu çift sayıya karşılık olan tek sayı da, onun bir eksiÄŸi olduÄŸu için 2n—1 biçiminde yazılaÂbilir.
DoÄŸal, tek ve çift sayılar arasındaki iliÅŸkiyi harf kullanarak bu biçimde tanımlamış olmaÂmız, n’inci tek ya da çift sayıyı kolayca bulabilmemizi saÄŸlar. ÖrneÄŸin, 25. tek sayıyı bilmek istersek, n yerine 25 yazarak sonucu kolayca buluruz.
2n-1=(2×25)-1=49
Soruyu tersinden de sorabiliriz. Örneğin, 101 sayısı tek sayılar sıralamasında kaçıncı sırada yer alır?
Bunu yanıtlamak için n’in hangi deÄŸerinin
2*1-1=101
eşitliğini sağladığını bulmaya çalışırız. Bunu çeşitli yollardan bulabiliriz; ama hangi yoldan olursa olsun bulunan sonuç
n=51
olacaktır. Demek ki, 101 sayısı 51. tek saÂyıdır.
Formüller ve Denklemler
Yukarıdaki 2n—1 = 101 örneÄŸi basit bir denkÂlemdir. Denklem iki niceliÄŸin eÅŸitliÄŸini gösteÂren matematiksel bir anlatımdır.
Formül adı verilen genel bir denklemde bütün nicelikler yerine onları temsil eden harfler kullanılır. ÖrneÄŸin bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzunluÄŸuyla (a) geniÅŸliÄŸiÂnin (£>), daha açık bir anlatımla uzunluÄŸundaÂki birim sayısıyla geniÅŸliÄŸindeki birim sayısıÂnın çarpıldığını biliriz. Bu, bir dikdörtgenin alanını bulmaya yarayan formüldür (bak. Alan ve Hacim). Bu formül kısaca
A=ab
olarak yazılır.
Bir dikdörtgenin bazı büyüklüklerini bilirÂsek geri kalanlarını bulmak için bu formülü kullanabiliriz. Bir örnek verelim: EÄŸer bir dikdörtgenin alanının 42 cm2 ve uzunluÄŸunun 7 cm olduÄŸunu biliyorsak bu deÄŸerleri formülÂdeki yerlerine koyarak,
42=7 b
denklemini yazabiliriz. Bu denklemi çözerek fe’nin deÄŸeri bulunur. Buna benzer basit örneklerde denklem kolayca çözülür. Ama daha karmaşık baÅŸka denklemleri çözmek daha zor olabilir.
İkinci dereceden bir denklemi ele alalım:
x2+7x=25
“jr”, “x’in karesi”, baÅŸka bir deyiÅŸle “x’in temsil ettiÄŸi sayının kendisiyle çarpımı” deÂmektir. Öyleyse denklemimizin anlamı ÅŸudur:
“Belirli bir sayıyı kendisiyle çarpıp buna aynı sayının 7 katını eklersek elde edeceÄŸimiz sonuç 25 oluyor; acaba bu sayı kaçtır?”
Bu denklemi çözmenin birkaç yolu vardır. Önce x,in deÄŸerinin ne olabileceÄŸini tahmin etmeye çalışalım; jc’in yerine 3 koyalım:
32+(7×3)=30
Sonuç 25’ten büyük çıktı. Öyleyse 2’yi deneÂyelim:
2:+(7×2)=18
Bu kez sonuç 25’ten küçük çıktı. Görülüyor ki x, 2 ile 3 arasında bir sayıdır. Bu kez x yerine 2,5 yazalım.
2,5: + (7×2,5) = 23,75
sonuç 25’e oldukça yakın, ama hâlâ 25’in altındadır. Bundan sonra deneyeceÄŸimiz sayı 2,5 ile 3 arasında bir sayı olmalı. x yerine 2,6 yazarsak elde edeceÄŸimiz sayı 24,96’dır. Bu 25’e çok yakın.bir sayıdır. Öyleyse x aÅŸağı yukarı 2,6’ya eÅŸittir.
BaÅŸka bir denklem türü iki bilinmeyenli denklemdir. 2x+y=3 gibi iki bilinmeyenli bir denklemde bilinmeyenlerden birinin alabileÂceÄŸi her gerçek deÄŸer için öbür bilinmeyeÂnin de bir gerçek deÄŸeri vardır. Bu ikiliÂlerin oluÅŸturduÄŸu kümeye çözüm kümesi deÂnir.
BaÅŸka bir denklem türü de denklem sistemÂleridir.
3x+y = x-3y = 7
gibi bir denklem sisteminde, iki bilinmeyenli iki ayrı denklemin birlikte çözümü gerekir. Bu denklem sisteminin çözümü her iki denkÂlemin çözüm kümelerinin kesiÅŸimidir.
Cebirde harfler yalnızca sayıları temsil etÂmez. Matematikteki herhangi bir ÅŸey harflerle gösterilebilir.
Örneğin a ve b iki vektör olsun:
a+b=b+a
eÅŸitliÄŸi, toplama iÅŸleminde, vektörlerin sıralaÂrı deÄŸiÅŸtirildiÄŸinde sonucun deÄŸiÅŸmeyeceÄŸini anlatır.
c=2a+b
ise, c vektörünün, a vektörünün iki katına b vektörünün eklenmesi sonucu elde edildiğini gösterir.
Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum
Bu içerik 21.03.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 5373 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 1 adet mesaj daha bulunmaktadır.
Cebir Nedir? | Matematiğin En Temel Dalı - Formüller Ve Denklemler - Cebirsel Yapı orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...