[Matematik] ArÅŸimet Spirali | Aritmetik Spiral – Uygulamalar

ArÅŸimet Spirali – Aritmetik Spiral

Üç tam dönüş yapmış bir Arşimet spirali

ArÅŸimet spirali veya aritmetik spiral, iki boyutlu düzlemde, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doÄŸru üzerinde, sabit hızla dışarıya doÄŸru ilerleyen bir noktanın izleyeceÄŸi eÄŸridir. Ä°smini, M.Ö. 3. yüzyılda yaÅŸamış ve Spiraller Ãœzerine adlı kitabında bu eÄŸrileri incelemiÅŸ olan Yunan matematikçi ArÅŸimet’ten alır.

Kutupsal koordinat sisteminde, ArÅŸimet spirali ÅŸu denklemle ifade edilir:

Burada a ve b gerçel sayılardır. a’nın deÄŸerini deÄŸiÅŸtirmek, spirali döndürecek, b’nin deÄŸerini deÄŸiÅŸtirmek ise spiralin kolları arasındaki mesafeyi azaltıp artıracaktır.

Orijinden dışarıya doÄŸru herhangi bir yönde çıkan bir doÄŸrunun spirali keseceÄŸi noktalar, birbirine eÅŸit uzaklıktadır. (θ radyan cinsinden ölçülürse bu uzaklık 2Ï€b’ye eÅŸittir.) Logaritmik spiralde ise bu noktaların aralarındaki mesafeler, dışarıya doÄŸru gidildikçe bir geometrik dizi halinde artar. DoÄŸada rastlanan duraÄŸan spirallerin hepsi (notilus kabuÄŸu, sarmal galaksi, örümcek ağı, vs) logaritmik spirallerdir. GüneÅŸ’in manyetik alanı gibi pek çok dinamik spiral ise ArÅŸimet spiralidir.

θ < 0 ve θ > 0 hallerinde, birbirinin y ekseni üzerinden yansıması olan iki ayrı spiral elde edilir. Yandaki resimde θ, 0 ve 6π arasında değişmektedir.

Bazı kaynaklarda Arşimet spirali şu denklemle tanımlanır:

Burada c yine bir bir reel parametredir. c 1 alınırsa yukarıda anlatılan standart ArÅŸimet spirali elde edilir. c için 1’den farklı deÄŸerler alındığında hiperbolik spiral, Fermat spirali ve lituus gibi çeÅŸitli eÄŸriler oluÅŸur.

Uygulamalar

Temelde iki Arşimet spiralinden oluşan sarmal kompresörün çalışma ilkesi.

Arşimet spiralinin gerçek dünyada pek çok uygulaması vardır.

Örneğin, Arşimet spirali şekilli ve birbirinin içine geçmiş aynı büyüklükteki iki sarmal, sıvı ya da gaz gibi akışkanları pompalamak ya da sıkıştırmak için kullanılan sarmal kompresörlerin temelini oluşturur. Sarmallardan biri sabit dururken, diğeri kendi çevresinde dönmemek üzere merkez dışı (eksantrik) bir dönüş hareketi yapar ve akışkanı iki sarmalın duvarları arasında sıkıştırarak ilerletir.

Gramofon plakların çok erken dönemlerinde, plak üzerindeki oluklar bir Arşimet spirali oluşturacak şekilde açılır ve bu şekilde, olukların birbirlerinden eş uzaklıkta durmaları sağlanarak, bir plağın üstüne en çok miktarda müzik kaydedilmeye çalışılırdı. Ancak sonraları, daha iyi ses kalitesi elde edebilmek için bu uygulamadan vazgeçilmiştir.

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 22.01.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 1861 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 0 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Matematik] Arşimet Spirali | Aritmetik Spiral - Uygulamalar orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...