[Geometri] Möbius Åžeridi – Moebious Åžeridi – Moeibus Band | Geometrik Olarak, Uzunca Bir Åžeridin Bir Ucunu 180 Derece Büküp DiÄŸer Ucu Ä°le Birl..

Möbius Åžeridi – Moebious Åžeridi – Moeibus Band

Moeibus band: Möbius şeridi:

Geometrik olarak, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece büküp diğer ucu ile birleştirilerek elde edilen şeride Möbius şeridi denir.

Moebious şeridi kendisi ilk tek yüzlü bir şekil olup A.F.Moebius (1790-1860) tarafından bulunmuştur. Möbius yayınladığı bir çalışmasında şekin tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olduğunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır. Daha sonra, matematikçi ve sanat adamı olan M.C.Escher (1898-1972) sayesinde tanınmıştır.

Bir yüzeyi neresinden tutmalı:

Yüzeyleri en basit anlamda incelemek için yüzeyi, verilen bir koordinat sistemi için belirli şartlardaki bir denklemi sağlayan noktalar kümesi olarak alabiliriz. İncelemede kolaylık sağlaması açısından bazı aynı özellikleri gösteren yüzeyleri aynı sınıflara koyarak bir sınıflandırmaya gidelim.

Bu sayede Möbius ÅŸeridinin Öklid uzayındaki özel bir gösterilimi ile kısıtlı kalmayacağız, etrafımızdaki Möbius ÅŸeritlerini de görmeyi baÅŸaracağız. Åžimdi yüzeylerin bazı ortak özelliklerini nasıl öne çıkarabileceÄŸimizi inceleyelim. Mesela üç boyutlu Öklid uzayı içindeki z = xy (1) ve 2Z = X2 – Y2 (2) denkemlerinin belirttikleri yüzeyleri ele alalım. Biraz dikkat edilirse, her iki yüzey de benzer bazı özellikler gösterir. Hatta (1) yüzeyinin denkleminde

x = (X+Y) ve y = (X-Y) alalım. O zaman z = xy = (X+Y) (X-Y) / 2 = (X2 – Y2) / 2, her iki tarafı 2 ile çarparsak (2) denkleminin elde edildiÄŸi görülür, yapılan iÅŸ ise sadece bir katı cisim hareketi, yani bir afin dönüşümdür, bu yüzeyler koordinat sistemi seçimi dışında aynıdır. O halde aynı tür yüzeyleri gruplarken, yüzey gruplarının seçilen koordinat sisteminden bağımsız olmasını isteyeceÄŸiz.

Bunun için de ölçümlere bağımlı kavramlar kullanmak yerine daha genel kavramlar kullanmalıyız. Burada ise iÅŸin içine topoloji girer. Topoloji, matematiÄŸin bir dalı olarak XIX. yüzyılın sonlarında ünlü Fransız matematikçi Henri Poincaré’nin çalışmaları ile sistematik oluÅŸumuna baÅŸlamaıştır. Aslında, topoloji alanındaki araÅŸtırmaların baÅŸlangıcı G. Riemann’ın XIX. yy. ortalarına rastlayan fonksiyonlar teorisi ile ilgili çalışmaları olarak alınabilir. Fakat ilk topolojik kavramları ortaya atıp üzerine derin bir teoriyi kuran Poincaré’dir.

Poincaré topolojiyi (o zamanlar analysis situs deniyordu) nasıl tanımlamış:

• Analysis situs, geometrik şekillerin, sadece alışılmış uzayda değil, üçten fazla boyutlu uzaylarda da niteliklerini öğrenmemizi sağlayan bir bilimdir. Üç boyutlu uzayda analysis situs, bizim için neredeyse sezgisel bir bilgidir. Üçten fazla boyutlu uzaylarda ise, analysis situs karşmıza çok büyük zorluklar çıkarır, üstesinden gelmeye çalışmak için ise, bireyin bu bilimin büyük önemine inanmış olması gerekir. Eğer bu önem herkes tarafından anlaşılmamış ise, demek ki herkes yeterince üzerine düşünmemiştir.

Bir geometrik şeklin niteliksel özelliklerini daha iyi anlamak için bir küreyi, elastik bir balon olarak düşünelim. Bu küreyi, parçalamadan veya farklı iki noktasını yapıştırmadan şeklinde meydana getirilebilen tüm değişimlere homeomorfizma denir (yani birebir, örten, kendi ve tersi sürekli bir fonksiyon), ve bir şeklin böyle bir dönüşüm altındaki görüntüsü ile bir homeomorfik taklidi elde edilir. O halde, kürenin niteliksel özellikleri, tüm homeomorfik taklitleri ile paylaştığı özellikleridir. Bu özelliklere de topolojik özellikler denir.

Möbius şeridi:

Artık bir Möbius ÅŸeridinin tanımını verebiliriz. Geometrik olarak, uzunca bir ÅŸeridin bir ucunu 180 derece büküp diÄŸer ucu ile birleÅŸtirirsek elde edilen ÅŸeride Möbius ÅŸeridi denir (Bakınız ÅŸekil 1). Ä°lk olarak 1861’de Johann Benedict Listing tarafından tanımlanmıştır, dört yıl sonra ise Möbius yayınladığı bir çalışmasında tanımını vermiÅŸ, ÅŸeridin tek yüzlü olduÄŸunu, yönlendirilememesi ile açıklamıştır, bunun için de yüzeyin yönlü üçgenler ile kaplı olduÄŸunu varsaymış, fakat tüm yüzeyin aralarında uyumlu yönlü üçgenler ile kaplanamayacağını göstermiÅŸtir.

Şekil 1. Möbius şeridinin elde edilişi. Şimdi biraz daha farklı ve kullanışlı bir gösterilim geliştirip Möbius şeridini incelemeye başlayalım:

Åžekil 2(a)‘daki gibi, bir kareyi aldığımızda, aynı isimlendirilen kenarlar oklar yönünde birleÅŸtiriliyor anlamına gelsin. O halde ABCD diye bu kareyi adlandırıp bir koordinat sistemi üzerine yerleÅŸtirebiliriz. A(0,0) ve C(1,1) olsun (Yani, bu örnekte, AD ile BC ters yönde birleÅŸtiriliyorlar).

Åžekil 2(a). Möbius ÅŸeridinin temel çokgeni, (B) BöceÄŸin hareketi. Åžekilde de görülebileceÄŸi gibi AD üzeindeki L(0,x) ve BC üzerindeki L'(1,1-x) noktaları yapıştırma sonucunda aynı noktalar olacaktır. Bu Möbius ÅŸeridi üzerinde, P noktasından gezmeye baÅŸlayan bir böceÄŸin kısa gezintisini Åžekil 2(B)’de görebiliriz. BC sınırına gelen böcek, BC AB ile yapıştırıldığından karşılık gelen yerden duraksamadan, hiçbir deÄŸiÅŸiklik hissetmeden gezinmeye devam eder. BöceÄŸin BC’yi geçince simetrisini görünce çok da ÅŸaşırmamak gerekli. Zaten Möbius’un, bu ÅŸeridin yönlendirilemez olduÄŸunu demesi bundan ibarettir, böcek AD be BC’nin orta noktalarını birleÅŸtiren doÄŸru üzerinde gezseydi, baÅŸlangıç konumuna tekrar vardığında sınırları aÅŸmamasına raÄŸmen, önceden sırtı bize yönelmiÅŸken, bu sefer karnı bize yönelmiÅŸ olur (simetrisini gördüğümüzden).

Böceğin hareketini, bir boya fırçasının hareketi olarak düşünsek, şeridin bir yüzünü boyamaya başlayan bir fırça, sınırdan öteki yüze atlamadan, her iki yüzü boyardı, yani aslında yüz sayısı iki değildir. Böceği düşenmeye devam edelim. Bu böcek bir küre yüzeyi üzerinde gezseydi böyle bir durumla asla karşılaşamayacaktı. Fakat dünyamız bir Klein şişesi olsaydı bu durumla karşılaşma ihtimali olurdu. Öncelikle Klein şişesinin ne olduğunu hatırlayalım:

Möbius ÅŸeridi gibi tek yüzlü olan Klein ÅŸiÅŸesi, kapalı bir yüzeydir. Bir silindirin sınır çemberlerini farklı yönlerde birleÅŸtirirsek elde edeceÄŸimiz ÅŸekil bir Klein ÅŸiÅŸesidir. Bu tanıma göre Klein ÅŸiÅŸesinin temel çokgenini ÅŸekil 3(a)’daki gibi çizeriz, elde ettiÄŸimiz yüzeyin bir çizimi ise ÅŸekil 3(d)’de görülüyor. Kenarların birleÅŸtirilmelerini biraz daha açık yazmak istersek, AD üzerindeki (0,x) noktası BC üzerindeki aynı hizalı (1,x) noktasıyla, AB üzerindeki (x,0) noktası ise DC üzerindeki (1-x,1) noktası ile birleÅŸir. Maalesef üç boyutlu Öklid uzayında bu ÅŸiÅŸeyi gösterebilmek için silindirin kendi kendisini kesmesi gerekmektedir. Aslında yüzey üzerindeki kesiÅŸimi, bir hayaletin bir duvardan öteye geçmesi gibi düşünelim.

Åžekil 3(a) Klein ÅŸiÅŸesinin temel çokgeni ve (B)-(d) kenarların yapıştırılması. Bu ÅŸiÅŸenin tek yüzlü olması, yaklaÅŸtığınızda Möbius ÅŸeridi kokuları almanıza yol açar, hatta, ÅŸimdi size büyük bir iddiamız var: Klein ÅŸiÅŸesi, Möbius ÅŸeridi içerir. Bunu ise Klein ÅŸiÅŸesini basit kapalı bir eÄŸri ile keserek göstereceÄŸiz. Åžekil 4(a)’de görülen kesik çizgiler boyunca Klein ÅŸiÅŸesinin temel çokgenini keselim, sonra da kurallara uygun ÅŸekilde birleÅŸtirmeyi deniyelim:

Åžekil 4(a) Nasıl kesmeli, (B) kesince, © tekar düzenlenince Ä°ÅŸlemleri Klein ÅŸiÅŸesinin temel çokgeni ABCD üzerinde yapalım. Åžekil 4(a)’da görülen APC eÄŸrisi Klein ÅŸiÅŸesi üzerinde basit kapalı bir eÄŸridir (dikkat edilmeli ki çokgen üzerinde iki eÄŸri var gibi gözükse bile nasıl farklı görünen iki noktanın adı P ise, eÄŸri de bir P noktasına varınca, diÄŸerinden devam eder). Åžekil 4(B)’de çokgenin kesilmiÅŸ halini görüyoruz. Burada APCP dörtgeninin oklar yönünde birleÅŸtirilince bir Möbius ÅŸeridi olduÄŸunu görünce koku duyumuzda yanılmadığımızı görürüz. Peki geri kalan parçalar nedir? AD ile BC doÄŸruları ok yönünde birleÅŸtirilince, Åžekil 4©’de görüldüğü üzere, bir tane daha Möbius ÅŸeridi elde ettiÄŸimizi farkederiz! O halde her Klein ÅŸiÅŸesi, bünyesinde iki Möbius ÅŸeridi içerir, daha güzel söylemek gerekirse, iki Möbius ÅŸeridi alıp sınırları boyunca birbirine yapıştırırsak, elde edeceÄŸimiz Klein ÅŸiÅŸesinden baÅŸka birÅŸey deÄŸildir.

Åžimdi ise son olarak Möbius ÅŸeridinin kendisini kesmeyi deniyelim. Acaba Möbius ÅŸeridini boylu boyunca kesersek ne elde edeceÄŸiz? Mesela sınırından geniÅŸliÄŸinin dörtte biri uzaklıktan kesmeye baÅŸlayalım. Bunu Möbius ÅŸeridinin temel çokgeni üzerinde göstermek istersek Åžekil 5’deki manzara karşımıza çıkar.

Şekil 5. Möbius şeridini kesince ne elde ederiz? PQP basit kapalı bir eğridir, kesildikten sonra AD kenarının üzerindeki PQ parçası, BC üzerinde karşılık gelen QP parçası ile ters yönde birleştirilir, yani bir Möbius şeridi elde edilir, hem de annesinin yarı genişliğine sahip bir şerit. APQB ile PCDQ birleştirildiğinde ise başka bir şerit daha elde ederiz. Bu şerit ise BQ ile QD ters yönde, sonra da PC ile AP de ters yönde birleştirileceğinden tam bir dönme içeren bir şerit elde edilir, doğal olarak artık bu ükü yüze sahiptir, topolojik olarak bir silindirdir, ayrıca kolayca gösterilebileceği gibi silindir ise topolojik olarak bir noktası eksik düzlem ile aynıdır.

Bu yazıyı ufak bir soru ile noktalıyoruz. Möbius şeridini tam ortası boyunca kesseydik ne olurdu? Bunu bir limit olarak düşünün, yani PQ eğrilerini yavaş yavaş merkez doğrusuna yaklaştırın.

Kaynak: sci.ege.edu.tr

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 11.12.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 906 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 0 adet mesaj daha bulunmaktadır.

[Geometri] Möbius Şeridi - Moebious Şeridi - Moeibus Band | Geometrik Olarak, Uzunca Bir Şeridin Bir Ucunu 180 Derece Büküp Diğer Ucu İle Birleştirilerek Elde Edilen Şerit orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...