Fraktal Geometri Nedir? | Fraktal Teoremin GeliÅŸimi – Fraktal Teoreminin Animasyonlu Anlatımı – Sierpinski Üçgeni

Fraktal Geometri

Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiÅŸ bir teoremdir ve kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen sekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluÅŸturan parçalar ya da bileÅŸenler cismin bütününü inceler. Ä°lk olarak 1975’de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir ve tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır. DoÄŸada görebilen örnekler bazı bitkilerin yapılarıdır.

Bir fraktalı giderek yakınlaşarak izleyen bir animasyon. Simetriye dikkat ediniz.

Sierpinski üçgeni; mutlak surette simetrik bir fraktal

Teoremin GeliÅŸimi

Fraktal

Benoit Mandelbrot, IBM Laboratuvarlarında çalışmaya başladığında Oyun Teorisi, iktisat, emtia fiyatları gibi çeşitli alanlarda çalışan bir mühendisti. Bu çalışmalarını tamamladığında veri iletim hatlarındaki gürültü üzerinde çalışmaya başladı. Mühendisler, veri aktarımı sırasında oluşan gürültü karşısında çaresiz kalmışlardı. Mühendislerin bu soruna bulabildikleri en iyi çare sinyal gücünü arttırmaktan ileri gidememişti. Fakat sinyal gücünün arttırılması da tam bir çözüm sağlamamıştı. İletişim esnasında halen gürültüye bağlı hatalar oluşmaktaydı.

İletim hatlarındaki gürültü doğası gereği gelişi güzel olmasına rağmen kümeler halinde gelmekteydi. İletişim süresi boyunca hatasız periyotlar arasında hatalı periyotlar yer almaktaydı. Hatalı periyotların incelenmesi, hata paterninin sanıldığından daha karmaşık olduğunu ortaya koymuştur.

Mandelbrot, bir günlük veri trafiÄŸini birer saatlik periyotlara ayırdı. Daha sonra, hatanın gözlendiÄŸi periyotları ele alıp bu periyotlar yirmiÅŸer dakikalık parçalara böldü ve yine gördü ki, bu birer saatlik periyotların içinde de yine hatasız bölümler bulunmaktaydı. Mandelbrot, hatalı bölümler daha kısa zaman aralıklarına bölmeye devam etti. Ve sonunda hatasız periyotların halen var olduÄŸunu gösterdi. Bu arada aykırı bir durum Mandelbrot’un dikkatini çekti: hatalı periyotların hatasız periyotlara oranı periyodun uzunluÄŸundan bağımsız olarak neredeyse sabit kalıyordu.

Fraktal (büyütüldü)

Yukarıdaki tanıma uyan dağılım fonksiyonuna sahip bir dizi, 19. yüzyılda yaÅŸamış olan bir matematikçinin, Georg Cantor’un anısına Cantor dizisi olarak bilinir. Cantor dizisini oluÅŸturmak için L uzunluÄŸunda bir doÄŸru parçası alınır. DoÄŸru parçasının ortadaki üçte birlik kısmı silinir. Artık L/3 uzunluÄŸunda 2 adet doÄŸru parçası vardır. Bu doÄŸru parçalarının da ortadaki üçte birlik kısımları çıkarılır ve bu iÅŸlem sonsuza kadar tekrarlanırsa elde edilen yapının adı Cantor Tozu‘dur. Bu tozun koordinatları bir Cantor dizisi oluÅŸturur. Cantor Tozu sonsuz adet noktadan oluÅŸur ama toplam uzunluÄŸu sıfırdır.

Mandelbrot, yukarıdaki gürültü dağılımını kullanarak sinyal gücünün arttırılmasının gürültüye bağlı hatalardan kaçınılamayacağını göstermiştir. Yapılması gereken hataları engellemek değil, düzeltecek bir mekanizma geliştirmektir.

Mandelbrot’nun kendi kendine sorduğu şu soru, daha sonraki çalışmalarını yönlendiren temel işlev olmuştur:

“Ä°ngiltere sahil ÅŸeridinin uzunluÄŸu nedir?”
“Bu sorunun yanıtı kullanmakta olduÄŸunuz ölçüm aracının uzunluÄŸuna baÄŸlıdır.”

diyordu Mandelbrot. Mesela bir metrelik bir pergelin sahil boyunca yürütüldüğünü düşünün. Bulacağınız uzunluk yaklaşık bir deÄŸer olacaktır. Zira pergel, uzunluÄŸu bir metreden daha kısa olan girinti ve çıkıntıları atlayacaktır. Pergeli yarım metreye indirdiÄŸinizde bulacağınız sonuç bir öncekinden daha büyük, daha doÄŸru, ama halen yaklaşık sonuç olacaktır. Bu sefer de pergel yarım metreden daha kısa olan girinti çıkıntıları ölçemeyecektir. Pergeli daha da küçülttüğünüzde elde edeceÄŸiniz sonuç daha büyük ama halen hatalı bir deÄŸerdir. Bu zihinsel deneyi sonsuza kadar götürdüğünüzde ilginç ortaya ilginç sonuçlar çıkar. Sahil ÅŸeridi Öklid geometrisine uygun olsa idi (örneÄŸin çember), pergel küçüldükçe yapılacak ölçüm gerçekten de çemberin çevresine eÅŸit olacaktı. Ama sahil ÅŸeridi Mandelbrot’un öngördüğü ÅŸekilde ise ölçek atom boyutlarına inene kadar bulunan uzunluk sürekli artmaya devam eder, ancak atom ölçeÄŸinde sonlu bir deÄŸere gidebilir. Dikkat edilirse, Cantor Tozu’nda olduÄŸu gibi burada da ölçü biriminden (bir anlamda gözlem boyutundan) bağımsız olarak hata halen mevcuttur.

Fraktal (bir daha büyütüldü)

Mandelbrot‘nun bir sonraki sorusu ise ÅŸu olmuÅŸtur:

“Bir iplik yumağının boyutu nedir?”

Uzaktan bakıldığında yumak bir noktadan ibarettir, yani boyutu sıfırdır. Daha yakından yapılan gözlemlerde yumak yüzeyinde düzensizlikler bulunan bir küre gibidir. Boyut sayısı üçe çıkmıştır. Daha yakından bakıldığında yumağı oluşturan tek boyutlu iplik ayrık olarak gözlemlenebilir. Tek boyutlu ipliğe büyüteçle bakıldığında iplik üç boyutlu sütunlar gibi görülür. Mikroskop altında sütunlar tek boyutlu liflere, lifler ise sonunda boyutsuz noktalara dönüşmektedir. O halde, yumağın gerçek boyutu nedir?

Mandelbrot, bir birim cinsinden ölçülemez olan cisimlerin bir pütürlülük derecesine sahip olduÄŸunu ve bu pütürlülük derecesini ölçmenin bir yolunu bulmuÅŸtur. Mandelbrot’ya göre göre ölçek deÄŸiÅŸtiÄŸinde düzensizlik derecesi sabit kalmaktaydı.

1975 yılında Mandelbrot pütürlülük derecesinin ismini de koymuş oldu: Fraktal boyut. Pütürlülük özelliği gösteren cisimler de fraktallar adını aldı.

Etkileri…

Fraktal terimi taşıdığı felsefik anlam sayesinde ve fraktalların pschedelic biçimlere sahip olması gibi özelliklerinden dolayı diÄŸer sanatları da etkilemiÅŸ ve özellikle müzik alanında sesin görsel yansıması, fraktal ÅŸekillerin sese dönüşümü gibi alt baÅŸlıklar altında kendine yer bulmuÅŸtur. Bu özelliklerinin yanısıra “düzendeki kaos – kaostaki düzen” sloganı ile tanımlanan fraktal kavramı özellikle rock müzik dalında kendisinden etkilenen gruplara adını vermiÅŸtir. Arjantinli progressive rock grubu “Fraktal” bu grupların en tanınanıdır. Ãœlkemizde de adında Arjantinli meslektaÅŸlarıyla aynı adı taşıyan pyschedelic ve progressive rock grubu “Fraktal” faaliyetlerini sürdürmektedir.

Kaynak: Kadim Dostlar ™ Forum

Bu içerik 21.03.2009 tarihinde Hale tarafından, Matematik ve Geometri Konu Anlatımları bölümünde paylaşılmıştır ve 8725 kez okunmuştur. Bu içeriğin devamında incelemek isteyebileceğiniz 1 adet mesaj daha bulunmaktadır.

Fraktal Geometri Nedir? | Fraktal Teoremin Gelişimi - Fraktal Teoreminin Animasyonlu Anlatımı - Sierpinski Üçgeni orjinal içeriğine ulaşmak için tıklayın ...